Множества и действия над ними. Множества и операции над множествами
Данная тема содержит немало терминологии, поэтому я добавлю содержание темы, которое позволит легче ориентироваться в материале.
Начнём с того, что же, собственно, понимать под словом "множество". На интуитивном уровне под множеством понимают некую совокупность объектов, именуемых элементами множества . Например, можно говорить о множестве груш на столе, множестве букв в слове "множество" и так далее. Георг Кантор (немецкий математик, основатель современной теории множеств) писал, что под "множеством я понимаю вообще всё то многое, которое возможно мыслить как единое, т.е. такую совокупность определённых элементов, которая посредством одного закона может быть соединена в одно целое". Некоторое время понятие множества, введённое Кантором, полагалось довольно очевидным и не требующим дополнительных пояснений. Казалось, что появление работ Больцано, а затем и Кантора в конце 19 - начале 20 века, положит конец многим вопросам (например, окончательно разрешит апории Зенона, разрешит проблему бесконечности и т.д.) и станет началом новой математики. Гениальный немецкий математик Давид Гильберт отмечал, что "Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором".
Однако появление парадоксов (Рассел, Бурали-Форти) положило конец "канторовскому раю". Одна из формулировок парадокса Рассела, известная под названием "парадокс брадобрея" звучит так: в некотором селе брадобрей бреет тех и только тех жителей села, которые не бреются сами. Кто же тогда бреет самого брадобрея? Допустим, он бреет себя самостоятельно. Т.е. он принадлежит к тем жителям села, которые бреются сами, - а ведь согласно условию этих жителей брадобрей не имеет права брить. Следовательно, допущение о том, что брадобрей бреется сам, приводит к противоречию. Попробуем иначе: пусть брадобрей не бреется сам. Если он сам не бреется, то согласно условию его обязан брить брадобрей - вновь противоречие! Были предприняты попытки разрешить противоречия теории множеств, предложенной Кантором. Саму канторовскую теорию множеств математики назвали "наивной". Целью многих математических трудов стало построение такой системы аксиом, в которой подобные парадоксы были бы невозможны. Но задача оказалась не столь уж проста. На данный момент, насколько мне известно, единой аксиоматики теории множеств нет. Наиболее распространенной считается система аксиом Цермело-Френкеля (ZFC), в которой особняком стоит так называемая "аксиома выбора". Есть и вариации этой системы: например, автор B-метода Жан-Раймонд Абриал предложил типизированную теорию множеств, на основании которой создал формальный метод разработки программ.
Обозначение множеств. Принадлежность элемента множеству. Пустое множество.
Обычно множества записываются в фигурных скобках. Например, множество всех гласных букв русского алфавита будет записано так:
$$\{а, е, ё, и, о, у, ы, э, ю, я \} $$
А множество всех целых целых чисел, больших 8, но меньших 15, будет таким:
$$\{9,10,11,12,13,14 \} $$
Множество может вообще не содержать ни одного элемента. В этом случае его именуют пустым множеством и обозначают как $\varnothing$.
Чаще всего в математической литературе множества обозначаются с помощью больших букв латинского алфавита. Например:
$$A=\{0, 5, 6, -9 \},\; B=\{\Delta, +, -5, 0\}.$$
Есть и устоявшиеся обозначения определённых множеств. Например, множество натуральных чисел принято обозначать буквой $N$; множество целых чисел - буквой $Z$; множество рациональных чисел - буквой $Q$; множество всех действительных чисел - буквой $R$. Есть и иные устоявшиеся обозначения, но к ним мы станем обращаться по мере необходимости.
Множество, которое содержит конечное количество элементов, именуют конечным множеством . Если множество содержит бесконечное количество элементов, его называют бесконечным .
Например, указанное выше множество $A=\{0, 5, 6, -9 \}$ - конечное множество, ибо содержит 4 элемента (т.е. конечное число элементов). Множество натуральных чисел $N$ является бесконечным. Вообще говоря, мы не всегда можем сразу с уверенностью сказать, бесконечно некое множество или нет. Например, пусть $F$ - множество простых чисел.
Что такое простое число : показать\скрыть
Простыми числами именуют такие натуральные числа большие 1, которые делятся лишь на 1 или на самое себя. Например, 2, 3, 5, 7 и так далее. Для сравнения: число 12 не является простым числом, так как оно делится не только на 12 и 1, а ещё и на иные числа (например, на 3). Число 12 является составным.
Возникает вопрос: бесконечно множество $F$ или нет? Существует ли наибольшее простое число? Для ответа на этот вопрос понадобилась целая теорема, доказанная Эвклидом, о том, что множество простых чисел - бесконечно.
Под мощностью множества для конечных множеств понимают количество элементов данного множества. Мощность множества $A$ обозначается как $|A|$.
Например, так как конечное множество $A=\{0, 5, 6, -9 \}$ содержит 4 элемента, то мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$.
Если нам известно, что некий объект $a$ принадлежит множеству $A$, то записывают это так: $a\in A$. Например, для вышеуказанного множества $A$ можно записать, что $5\in A$, $-9\in A$. Если же объект $a$ не принадлежит множеству $A$, то обозначается это следующим образом: $a\notin A$. Например, $19\notin A$. Кстати, сказать, элементами множеств могут быть и иные множества, например:
$$ M=\{-9,1,0, \{ a, g\}, \varnothing \} $$
Элементами множества $M$ являются числа -9, 1, 0, а также множество $ \{ a,\; g\}$ и пустое множество $\varnothing$. Вообще, для упрощения восприятия множество можно представлять как портфель. Пустое множество - пустой портфель. Эта аналогия пригодится чуть далее.
Подмножество. Универсальное множество. Равенство множеств. Булеан.
Множество $A$ называют подмножеством множества $B$, если все элементы множества $A$ являются также элементами множества $B$. Обозначение: $A\subseteq B$.
Например, рассмотрим множества $K=\{ -9,5\}$ и $T=\{8,-9,0,5,p, -11\}$. Каждый элемент множества $K$ (т.е. -9 и 5) является также элементом множества $T$. Следовательно, множество $K$ есть подмножество множества $T$, т.е. $K\subseteq T$.
Так как все элементы любого множества $A$ принадлежат самому множеству $A$, то множество $A$ является подмножеством самого множества $A$. Пустое множество $\varnothing$ является подможеством любого множества. Т.е. для произвольного множества $A$ верно следующее:
$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$
Введём ещё одно определение - универсальное множество.
Универсальное множество (универсум) $U$ обладает тем свойством, что все иные множества, рассматриваемые в данной задаче, являются его подмножествами.
Иными словами, универсум содержит в себе элементы всех множеств, которые рассматриваются в рамках некоей задачи. Например, рассмотрим такую задачу: проводится опрос студентов некоей академгруппы. Каждому студенту предлагается указать мобильных операторов РФ, сим-карты которых он использует. Данные этого опроса можно представить в виде множеств. Например, если студент Василий использует сим-карты от МТС и Life, то можно записать следующее:
$$ Vasilij=\{MTC, Life \} $$
Подобные множества можно составить для каждого студента. Универсумом в этой модели будет множество, в котором перечислены все операторы России. В принципе, в качестве универсума можно взять также множество, в котором перечислены все операторы СНГ, а также множество всех мобильных операторов мира. И это не будет противоречием, ибо любой оператор России входит в множество операторов как СНГ, так и всего мира. Итак, универсум определяется только в рамках некоей конкретной задачи, при этом зачастую можно рассмотреть несколько универсальных множеств.
Множества $A$ и $B$ называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов. Иными словами, если каждый элемент множества $A$ является также элементом множества $B$, и каждый элемент множества $B$ является также элементом множества $A$, то $A=B$.
Определение равенства множеств можно записать и по-иному: если $A\subseteq B$ и $B\subseteq A$, то $A=B$.
Рассмотрим пару множеств: первое будет $\{\Delta, k \}$, а второе - $\{k, \Delta\}$. Каждый элемент первого множества (т.е. $\Delta$ и $k$) является также элементом второго множества. Каждый элемент второго множества (т.е. $k$ и $\Delta$) является также элементом второго множества. Вывод: $\{\Delta, k \}=\{k, \Delta\}$. Как видите, порядок записи элементов в множестве роли не играет.
Рассмотрим ещё пару множеств: $X=\{k, \Delta, k, k,k \}$ и $Y=\{\Delta, k \}$. Каждый элемент множества $X$ является также элементом множества $Y$; каждый элемент множества $Y$ является также элементом множества $X$. Следовательно, $\{k, \Delta, k, k, k \}=\{\Delta, k \}$. С учётом подобных равенств в теории множеств принято одинаковые элементы не повторять в записи дважды. Например, множество цифр числа 1111111555559999 будет таким: $\{1,5,9\}$. Есть, конечно, исключения: так называемые мультимножества . В записи мультимножеств элементы могут повторяться, однако в классической теории множеств повторения элементов не допускаются.
Используя понятие равенства множеств, можно классифицировать подмножества.
Если $A\subseteq B$, при этом $A\neq B$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A \subset B$.
Если же некое подмножество множества $A$ совпадает с самим множеством $A$, то это подмножество называют несобственным . Иными словами, множество $A$ является несобственным подмножеством самого множества $A$.
Например, для рассмотренных выше множеств $K=\{ -9,5\}$ и $T=\{8,-9,0,5,p, -11\}$ имеем: $K\subseteq T$, при этом $K\neq T$. Следовательно, множество $K$ является собственным подмножеством множества $T$, что записывается как $K\subset T$. Можно сказать и так: множество $K$ строго включено в множество $T$. Запись $K\subset T$ более конкретна, нежели $K\subseteq T$. Дело в том, что записывая $K\subset T$ мы гарантируем, что $K\neq T$. В то время как запись $K\subseteq T$ не исключает случая равенства $K=T$.
Примечание относительно терминологии : показать\скрыть
Вообще говоря, тут есть некая путаница в терминологии. Приведённое выше определение несобственных множеств принято в американской и части отечественной литературы. Однако в другой части отечественной литературы есть несколько иная трактовка понятия несобственных множеств.
Если $A\subseteq B$, при этом $A\neq B$ и $A\neq \varnothing$, то множество $A$ называют собственным (строгим) подмножеством множества $B$. Также говорят, что множество $A$ строго включено в множество $B$. Записывают это так: $A \subset B$. Множества $B$ и $\varnothing$ именуются несобственными подмножествми множества $B$.
Иными словами, пустое множество в такой трактовке исключается из собственных подмножеств и переходит в разряд несобственных. Выбор терминологии - дело вкуса.
Множество всех подмножеств некоего множества $A$ называют булеаном или степенью множества $A$. Обозначается булеан как $P(A)$ или $2^A$.
Пусть множество $A$ содержит $n$ элементов. Булеан множества $A$ содержит $2^n$ элементов, т.е.
$$ \left| P(A) \right|=2^{n},\;\; n=|A|. $$
Рассмотрим пару примеров на использование введённых выше понятий.
Пример №1
Из предложенного списка выберите те утверждения, которые являются верными. Ответ аргументируйте.
- $\{-3,5, 9 \}\subseteq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $;
- $\{-3,5, 9 \}\subset \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $;
- $\{-3,5, 9 \}\in \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $;
- $\varnothing \subseteq \varnothing$;
- $\varnothing=\{\varnothing \}$;
- $\varnothing \in \varnothing$;
- $A=\{9, -5, 8 \{7, 6 \} \};\; |A|=5$.
- Нам заданы два множества: $\{-3,5, 9 \}$ и $\{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Каждый элемент первого множества является также элементом второго множества. Следовательно, первое множество есть подмножество второго, т.е. $\{-3,5, 9 \}\subseteq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Утверждение первого пункта - верное.
- В первом пункте мы выяснили, что $\{-3,5, 9 \}\subseteq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. При этом данные множества не равны между собой, т.е. $\{-3,5, 9 \}\neq \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Значит, множество $\{-3,5, 9 \}$ является собственным (в иной терминологии строгим) подмножеством множества $\{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Этот факт записывается как $\{-3,5, 9 \}\subset \{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \} $. Итак, утверждение второго пункта истинно.
- Множество $\{-3,5, 9 \}$ не является элементом множества $\{-3, 9, 8, 5, 4, 6 \}$. Утверждение третьего пункта ложно. Для сравнения: утверждение $\{-3,5, 9 \}\in \{9, 8, 5, 4, \{-3,5,9\}, 6 \}$ истинно.
- Пустое множество является подможеством любого множества. Поэтому утверждение $\varnothing \subseteq \varnothing$ истинно.
- Утверждение ложно. Множество $\varnothing$ не содержит элементов, а множество $\{\varnothing \}$ содержит один элемент, посему равенство $\varnothing=\{\varnothing \}$ неверно. Чтобы это было нагляднее, можно обратиться к той аналогии, что я описал выше. Множество - это портфель. Пустое множество $\varnothing$ - пустой портфель. Множество $\{\varnothing \}$ - портфель, внутри которого лежит пустой портфель. Естественно, что пустой портфель и непустой портфель, внутри которого нечто есть - разные портфели:)
- Пустое множество не содержит элементов. Ни единого. Поэтому утверждение $\varnothing \in \varnothing$ ложно. Для сравнения: утверждение $\varnothing\in\{\varnothing \}$ истинно.
- Множество $A$ содержит 4 элемента, а именно: 9, -5, 8 и $\{7, 6 \}$. Поэтому мощность множества $A$ равна 4, т.е. $|A|=4$. Следовательно, утверждение о том, что $|A|=5$ - ложно.
Ответ : Утверждения в пунктах №1, №2, №4 - истинны.
Пример №2
Записать булеан множества $A=\{-5,10,9\}$.
Множество $A$ содержит 3 элемента. Иными словами: мощность множества $A$ равна 3, $|A|=3$. Следовательно, множество $A$ имеет $2^3=8$ подмножеств, т.е. булеан множества $A$ будет состоять из восьми элементов. Перечислим все подмножества множества $A$. Напомню, что пустое множество $\varnothing$ является подмножеством любого множества. Итак, подмножества таковы:
$$ \varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} $$
Напомню, что подмножество $\{-5, 10, 9 \}$ является несобственным, так как совпадает с множеством $A$. Все остальные подмножества - собственные. Все записанные выше подмножества являются элементами булеана множества $A$. Итак:
$$ P(A)=\left\{\varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} \right\} $$
Булеан найден, остаётся лишь записать ответ.
Ответ : $P(A)=\left\{\varnothing, \{-5 \}, \{ 10\}, \{ 9\}, \{-5,10 \}, \{-5, 9 \}, \{-10, 9 \}, \{-5, 10, 9 \} \right\}$.
Способы задания множеств.
Первый способ - это простое перечисление элементов множества. Естественно, такой способ подходит лишь для конечных множеств. Например, с помощью данного способа множество первых трёх натуральных чисел будет записано так:
$$ \{1,2,3\} $$
Часто в литературе можно встретить обозначения такого характера: $T=\{0,2,4,6,8, 10, \ldots \}$. Здесь множество задаётся не перечислением элементов, как кажется на первый взгляд. Перечислить все чётные неотрицательные числа, которые и составляют множество $T$, невозможно, ибо этих чисел бесконечно много. Запись вида $T=\{0,2,4,6,8, 10, \ldots \}$ допускается только тогда, когда не вызывает разночтений.
Второй способ - задать множество с помощью так называемого характеристического условия (характеристического предиката) $P(x)$. В этом случае множество записывается в таком виде:
$$\{x| P(x)\}$$
Запись $\{x| P(x)\}$ читается так: "множество всех элементов $x$, для которых высказывание $P(x)$ истинно". Что именно значит словосочетание "характеристическое условие" проще пояснить на примере. Рассмотрим такое высказывание:
$$P(x)="x\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$
Подставим в это высказывание вместо $x$ число 27. Мы получим:
$$P(27)="27\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$
Это истинное высказывание, так как 27 действительно является натуральным числом, последняя цифра которого равна 7. Подставим в это высказывание число $\frac{2}{5}$:
$$P\left(\frac{2}{5}\right)="\frac{2}{5}\; - \;натуральное\; число,\; последняя\; цифра\; которого \;равна\; 7"$$
Это высказывание ложно, так как $\frac{2}{5}$ не является натуральным числом. Итак, для некоторых объектов $x$ высказывание $P(x)$ может быть ложно, для некоторых - истинно (а для некоторых вообще не определено). Нас будут интересовать лишь те объекты, для которых высказывание $P(x)$ будет истинно. Именно эти объекты и образуют множество, заданное с помощью характеристического условия $P(x)$ (см. пример №3).
Третий способ - задать множество с помощью так называемой порождающей процедуры. Порождающая процедура описывает, как получить элементы множества из уже известных элементов или неких иных объектов (см. пример №4).
Пример №3
Записать множество $A=\{x| x\in Z \wedge x^2 < 10\}$ перечислением элементов.
Множество $A$ задано с помощью характеристического условия. Характеристическое условие в данном случае выражено записью "$x\in Z \wedge x^2 < 10$" (знак "$\wedge$" означает "и"). Расшифровывается эта запись так: "$x$ - целое число, и $x^2 < 10$". Иными словами, в множество $A$ должны входить лишь целые числа, квадрат которых меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е.
$$ A=\{0,-1,1,-2,2,-3,3\} $$
Множество $A$ теперь задано с помощью перечисления элементов.
Ответ : $A=\{0,-1,1,-2,2,-3,3\}$.
Пример №4
Описать элементы множества $M$, которое задано такой порождающей процедурой:
- $3\in M$;
- Если элемент $x\in M$, то $3x\in M$.
- Множество $M$ - является подмножеством любого множества $A$, удовлетворяющего условиям №1 и №2.
Давайте пока оставим в покое условие №3 и посмотрим, какие элементы входят в множество $M$. Число 3 туда входит согласно первому пункту. Так как $3\in M$, то согласно пункту №2 имеем: $3\cdot 3\in M$, т.е. $9\in M$. Так как $9\in M$, то согласно пункту №2 получим: $3\cdot 9\in M$, т.е. $27\in M$. Так как $27\in M$, то по тому же пункту №2 имеем: $81\in M$. Короче говоря, построенное множество 3, 9, 27, 81 и так далее - это натуральные степени числа 3.
$$3^1=1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$
Итак, кажется, что искомое множество задано. И выглядит оно так: $\{3,9,27,81,\ldots \}$. Однако действительно ли условия №1 и №2 определяют только это множество?
Рассмотрим множество всех натуральных чисел, т.е. $N$. Число 3 - натуральное, посему $3\in N$. Вывод: множество $N$ удовлетворяет пункту №1. Далее, для любого натурального числа $x$ множество $N$ содержит также и число $3x$. Например, 5 и 15, 7 и 21, 13 и 39 и так далее. Значит, множество $N$ удовлетворяет условию №2. И, кстати сказать, не только множество $N$ удовлетворяет условиям №1 и №2. Например, множество всех нечётных натуральных чисел $N_1=\{1,3,5,7,9,11, \ldots\}$ тоже подходит под условия пунктов №1 и №2. Как же указать, что нам нужно именно множество $\{3,9,27,81,\ldots \}$?
Множество - одно из основных понятий современной математики. Это понятие не сводится к другим понятиям и не определяется. Объекты, составляющие множество, называют его Элементами . Множества обозначают заглавными латинскими буквами: A , B , C , X , …, их элементы - прописными буквами: A , B , C , X , … или буквами с индексами A 1, A 2, A 3, ... Множество, не содержащее ни одного элемента, называют Пустым и обозначают Æ.
Чтобы задать множество, необходимо знать, какие объекты принадлежат множеству, а какие нет. Если множество содержит немного элементов, то его можно задать, перечислив все его элементы. Если множество задано списком, то его элементы записывают в фигурных скобках через точку с запятой. Множество цифр можно записать следующим образом: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}; множество простых чисел, меньших 20, - B = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}; множество дней недели - С = {понедельник; вторник; среда; четверг; пятница; суббота; воскресенье}.
Однако задать множество списком можно только тогда, когда оно содержит конечное число элементов (но и это неудобно, если число элементов множества велико). Существует универсальный способ задания множеств. Множество может быть задано с помощью Характеристического свойства , то есть такого свойства, которым обладают все элементы множества, и не обладают объекты, не принадлежащие множеству. Задание множества с помощью характеристического свойства записывают следующим образом: А = {Х | P (Х )}, где P (X ) - характеристическое свойство.
Приведем несколько примеров:
1. Если , то .
2. Пусть B - множество остатков от деления натуральных чисел на 7. Тогда .
3. Если D - множество действительных чисел, не меньших двух и не больших семи, то D - отрезок .
Рассмотрим два множества A и B . Если каждый элемент множества B является элементом множества A , то говорят, что B - Подмножество множества A . Этот факт записывают так: В Ì А . Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества. Каждое непустое множество А имеет хотя бы два подмножества - само множество А и пустое множество.
Пусть даны два множества А и В .
Пересечением (Произведением ) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А , и множеству В . Обозначают пересечение множеств A Ç B :
A Ç B = { Х | Х Î A и Х Î B }.
Объединением (Суммой ) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В . Обозначают объединение множеств A È B :
A È B = { Х | Х Î A или Х Î B }.
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А , не принадлежащих множеству В . Обозначают разность множеств A \ B :
A \ B = { Х | Х Î A и Х Ï B }.
Элементами множества могут быть различные объекты - числа, слова, геометрические фигуры, функции и т. д. В математике особую роль играют Числовые множества , то есть множества, элементами которых являются числа.
Например: ¥ - множество натуральных чисел, ¢ - множество целых чисел, ¤ - множество рациональных чисел, ¡ - множество действительных чисел.
Напомним, что натуральными называют числа, используемые при счете предметов, то есть . Целыми считают натуральные числа, противоположные им отрицательные числа и число ноль. Таким образом, . Рациональные числа - это обыкновенные дроби с целым числителем и натуральным знаменателем: . Любое рациональное число может быть записано в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Все десятичные дроби (в том числе и бесконечные непериодические) образуют множество действительных чисел. Действительные числа изображают точками на координатной прямой (числовой оси). Точка О , соответствующая числу 0, разбивает координатную прямую на два луча: положительный и отрицательный. Число, изображением которого на координатной прямой является точка М , называется Координатой точки М . Если , то точка с координатой лежит левее точки с координатой .
Особое значение в математике имеют подмножества множества ¡, называемые числовыми промежутками: Отрезок [A ; B ] - множество точек Х , удовлетворяющих условию ; Интервал (A ; B ) - множество точек Х , удовлетворяющих условию ; Полуинтервалы [A ; B ) и (A ; B ] - множества точек Х , удовлетворяющих условиям и соответственно; бесконечные промежутки (A ; +¥), (- ¥; B ), [A ; +¥), (-¥; B ] - множества точек Х , удовлетворяющих условиям , , , соответственно.
В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".
Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём. Кроме того, на основе теории множества создана концепция реляционных баз данных, а на основе операций над множествами - реляционная алгебра и её операции - используемые в языках запросов к базам данных, в частности, SQL.
Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.
Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).
Код PASCAL
Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.
Какие бывают множества
Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:
Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...
Простых чисел
Чётных целых чисел
и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).
Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.
Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.
Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".
Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:
hleb ∈VETEROK ,
что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".
Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.
Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:
VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,
A = {7 , 14 , 28 } .
Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.
Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".
Например, запись
M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}
Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?
Операция декартова произведения множеств
Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .
Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный из элементов , взятых именно в этом порядке, обозначается . При этом i я () компонента набора есть .
Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.
Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n , i -я компонента которых принадлежит .
Например, если , , ,
Множества. Операции над множествами
Способы задания множества
Включение и равенство множеств
Диаграммы Эйлера-Венна
Операции над множествами
а) Объединение множеств
б) Пересечение множеств
в) Разность множеств
Дополнение множества
Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.
Примеры множеств:
1) множество студентов в данной аудитории;
2) множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;
3) множество точек данной геометрической фигуры;
4) множество чётных чисел;
5) множество корней уравнения х 2 -5х+6=0;
6) множество действительных корней уравнения х 2 +9=0;
Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.
Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.
Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а
А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5
N , но N, N. Если А - множество корней уравнения х 2 -5х+6=0, то 3 А, а 4А.В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:
N- множество всех натуральных чисел;
Z- множество всех целых чисел;
Q- множество всех рациональных чисел;
R- множество всех действительных чисел.
Приняты также обозначения Z + , Q + , R + соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и Z Ї , Q Ї , R Ї -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.
Способы задания множества
Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:
1) перечисление элементов множества;
2) указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.
Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d} . Множество корней уравнения х 2 -5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых решений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.
Второй способ задания множества является более универсальным. Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х). Например, А={х | х 2 -5х+6=0}. Решив уравнение х 2 -5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А={2; 3}.
Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х
Z}, т.е. Х есть множество целых чисел х, таких, что –1 ≤ х < 4, значит, по-другому: Х={-1; 0; 1; 2; 3}.Рассмотрим и такой пример: F={f | │fґ(x)│≤ 1 , 1 < x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.
Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А - пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А= Ш.
Например, А={х | хІ+9=0, х
R} –множество действительных чисел х, таких, что хІ+9=0- пустое множество, т.к. таких действительных чисел нет.Включение и равенство множеств
Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х
У или У Х. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У. Знаки включения или относятся только ко множествам и их не следует смешивать со знаками принадлежности Î и . Если, например, А - множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество А, т.е. В А. Пустое множество считают подмножеством любого множества Х, т.е. Ш Х, каким бы ни было множество Х. Ясно также, что каждое множество является подмножеством самого себя: Х Х.Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения Х
У и У Х, т.е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У. Например, если А={2; 3}, а В={х | хІ –5х+6=0}, то А=В. У, но Х≠ У, т.е. существует хотя бы один элемент множества У, не принадлежащий Х, то говорят, что Х есть собственное подмножество множества У, и пишут: Х У. Например: NZ, ZQ, QR. Далее нам потребуется множество, которое содержит в качестве своего подмножества любое другое множество. Такое «всеобъемлющее» множество будем называть универсальным и обозначать буквой U .Диаграммы Эйлера-Венна
Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.). Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В.
Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами. Основное отношение между элементом a и содержащим его множеством A обозначается так (a есть элемент множества A ; или a принадлежит A , или A содержит a ). Если a не является элементом множества A , то пишут (a не входит в A , A не содержит a ). Множество можно задать указанием всех его элементов, причем в этом случае употребляются фигурные скобки. Так {a , b , c } обозначает множество трех элементов. Аналогичная запись употребляется и в случае бесконечных множеств, причем невыписанные элементы заменяются многоточием. Так, множество натуральных чисел обозначается {1, 2, 3, ...}, а множество четных чисел {2, 4, 6, ...}, причем под многоточием в первом случае подразумеваются все натуральные числа, а во втором - только четные.
Два множества A и B называются равными , если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A . Тогда пишут A = B . Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов. Например, множество из трех элементов a , b , c допускает шесть видов записи:
{a , b , c } = {a , c , b } = {b , a , c } = {b , c , a } = {c , a , b } = {c , b , a }.
Из соображений формального удобства вводят еще так называемое "пустое множество", а именно, множество, не содержащее ни одного элемента. Его обозначают , иногда символом 0 (совпадение с обозначением числа нуль не ведет к путанице, так как смысл символа каждый раз ясен).
Если каждый элемент множества A входит во множество B , то A называется подмножеством B , а B называется надмножеством A . Пишут (A входит в B или A содержится в B , B содержит A ). Очевидно, что если и , то A = B . Пустое множество по определению считается подмножеством любого множества.
Если каждый элемент множества A входит в B , но множество B содержит хотя бы один элемент, не входящий в A , т. е. если и , то A называется собственным подмножеством B , а B - собственным надмножеством A . В этом случае пишут . Например, запись и означают одно и то же, а именно, что множество A не пусто.
Заметим еще, что надо различать элемент a и множество {a }, содержащее a в качестве единственного элемента. Такое различие диктуется не только тем, что элемент и множество играют неодинаковую роль (отношение не симметрично), но и необходимостью избежать противоречия. Так, пусть A = {a , b } содержит два элемента. Рассмотрим множество {A }, содержащее своим единственным элементом множество A . Тогда A содержит два элемента, в то время как {A } - лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно. Поэтому рекомендуется применять запись , и не пользоваться записью .