Онлайн калькулятор мат ожидания. Примеры решения задач
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.
Пусть случайная величина может принимать только значения вероятности которых соответственно равны Тогда математическое ожидание случайной величины определяется равенством
Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то
Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.
Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Определение математического ожидания в общем случае
Определим математическое ожидание случайной величины, распределение которой не обязательно дискретно. Начнем со случая неотрицательных случайных величин. Идея будет заключаться в том, чтобы аппроксимировать такие случайные величины с помощью дискретных, для которых математическое ожидание уже определено, а математическое ожидание положить равным пределу математических ожиданий приближающих ее дискретных случайных величин. Кстати, это очень полезная общая идея, состоящая в том, что некоторая характеристика сначала определяется для простых объектов, а затем для более сложных объектов она определяется с помощью аппроксимации их более простыми.
Лемма 1. Пусть есть произвольная неотрицательная случайная величина. Тогда существует последовательность дискретных случайных величин, таких, что
Доказательство. Разобьем полуось на равные отрезки длины и определим
Тогда свойства 1 и 2 легко следуют из определения случайной величины, и
Лемма 2. Пусть -неотрицательная случайная величина и и две последовательности дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Тогда
Доказательство. Отметим, что для неотрицательных случайных величин мы допускаем
В силу свойства 3 легко видеть, что существует последовательность положительных чисел, такая что
Отсюда следует, что
Используя свойства математических ожиданий для дискретных случайных величин, получаем
Переходя к пределу при получаем утверждение леммы 2.
Определение 1. Пусть - неотрицательная случайная величина, -последовательность дискретных случайных величин, обладающих свойствами 1-3 из леммы 1. Математическим ожиданием случайной величины называется число
Лемма 2 гарантирует, что не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности.
Пусть теперь - произвольная случайная величина. Определим
Из определения и легко следует, что
Определение 2. Математическим ожиданием произвольной случайной величины называется число
Если хотя бы одно из чисел в правой части этого равенства конечно.
Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
Доказательство. Будем рассматривать постоянную как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение и принимает его с вероятностью следовательно,
Замечание 1. Определим произведение постоянной величины на дискретную случайную величину как дискретную случайную возможные значения которой равны произведениям постоянной на возможные значения; вероятности возможных значений равны вероятностям соответствующих возможных значений Например, если вероятность возможного значения равна то вероятность того, что величина примет значение также равна
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Доказательство. Пусть случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины
Замечание 2. Прежде, чем перейти к следующему свойству, укажем, что две случайные величины называют независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы. Несколько случайных величин называют взаимно независимыми, если законы распределения любого числа их них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Замечание 3. Определим произведение независимых случайных величин и как случайную величину возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения на каждое возможное значение вероятности возможных значений произведения равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей. Например, если вероятность возможного значения равна, вероятность возможного значения равна то вероятность возможного значения равна
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Доказательство. Пусть независимые случайные величины и заданы своими законами распределения вероятностей:
Составим все значения, которые может принимать случайная величина Для этого перемножим все возможные значения на каждое возможное значение; в итоге получим и учитывая замечание 3, напишем закон распределения предполагая для простоты, что все возможные значения произведения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично):
Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Доказательство. Пусть случайные величины и заданы следующими законами распределения:
Составим все возможные значения величины Для этого к каждому возможному значению прибавим каждое возможное значение; получим Предположим для простоты, что эти возможные значения различны (если это не так, то доказательство проводится аналогично), и обозначим их вероятности соответственно через и
Математическое ожидание величины равно сумме произведений возможных значений на их вероятности:
Докажем, что Событие, состоящее в том, что примет значение (вероятность этого события равна), влечет за собой событие, которое состоит в том, что примет значение или (вероятность этого события по теореме сложения равна), и обратно. Отсюда и следует, что Аналогично доказываются равенства
Подставляя правые части этих равенств в соотношение (*), получим
или окончательно
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.
На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е. для любой случайной величины равно нулю. Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие - отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю. Эти соображения говорят о целесообразности заменить возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называется дисперсией.
Математическое ожиданиеДисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:
Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .
Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .
Задана плотность распределения f(x):
Задана функция распределения F(x):
Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .
Случайную величину X называют непрерывной
, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения
непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.
Свойства плотности распределения
1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.2. Условие нормировки:
Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:
Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть = M [(X - M (X )) 2 ]+(a - M (X )) 2 .
Для доказательства рассмотрим сначала случайную величину, являющуюся постоянной, т.е. функция отображает пространство элементарных событий в единственную точку а . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то
Если каждый член суммы разбивается на два слагаемых, то и вся сумма разбивается на две суммы, из которых первая составлена из первых слагаемых, а вторая – из вторых. Следовательно, математическое ожидание суммы двух случайных величин Х+У , определенных на одном и том же пространстве элементарных событий, равно сумме математических ожиданий М(Х) и М(У) этих случайных величин:
М(Х+У) = М(Х) + М(У).
А потому М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(М(Х)). Как показано выше, М(М(Х)) = М(Х). Следовательно, М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(Х) = 0.
Поскольку (Х - а) 2 = {(X – M (X )) + (M (X ) - a )} 2 = (X - M (X )) 2 + 2(X - M (X ))(M (X ) - a ) + (M (X ) – a ) 2 , то M [(Х - а) 2 ] = M (X - M (X )) 2 + M {2(X - M (X ))(M (X ) - a )} + M [(M (X ) – a ) 2 ]. Упростим последнее равенство. Как показано в начале доказательства утверждения 3, математическое ожидание константы – сама эта константа, а потому M [(M (X ) – a ) 2 ] = (M (X ) – a ) 2 . Поскольку постоянный множитель можно выносить за знак суммы, то M {2(X - M (X ))(M (X ) - a )} = 2(M (X ) - a )М(X - M (X )). Правая часть последнего равенства равна 0, поскольку, как показано выше, М(Х-М(Х))=0. Следовательно, М[(X - a ) 2 ]= M [(X - M (X )) 2 ]+(a - M (X )) 2 , что и требовалось доказать.
Из сказанного вытекает, что М[(X - a ) 2 ] достигает минимума по а , равного M [(X - M (X )) 2 ], при а = М(Х), поскольку второе слагаемое в равенстве 3) всегда неотрицательно и равно 0 только при указанном значении а .
Утверждение 4. Пусть случайная величина Х принимает значения х 1 , х 2 ,…, х m , а f – некоторая функция числового аргумента. Тогда
Для доказательства сгруппируем в правой части равенства (4), определяющего математическое ожидание, члены с одинаковыми значениями :
Пользуясь тем, что постоянный множитель можно выносить за знак суммы, и определением вероятности случайного события (2), получаем
что и требовалось доказать.
Утверждение 5. Пусть Х и У – случайные величины, определенные на одном и том же пространстве элементарных событий, а и b – некоторые числа. Тогда M (aX + bY )= aM (X )+ bM (Y ).
С помощью определения математического ожидания и свойств символа суммирования получаем цепочку равенств:
Требуемое доказано.
Выше показано, как зависит математическое ожидание от перехода к другому началу отсчета и к другой единице измерения (переход Y =aX +b ), а также к функциям от случайных величин. Полученные результаты постоянно используются в технико-экономическом анализе, при оценке финансово-хозяйственной деятельности предприятия, при переходе от одной валюты к другой во внешнеэкономических расчетах, в нормативно-технической документации и др. Рассматриваемые результаты позволяют применять одни и те же расчетные формулы при различных параметрах масштаба и сдвига.
Предыдущая |